「元日」とは元(初め)の日という字のごとく、年の初めの日、すなわち1月1日のことです。
「元旦」については諸説あります。
「日」という字の下に地平線を表す「一」を加えた「旦」という字は、朝を意味する漢字です。
「元旦」は「元日」の朝のことだけを指すという説もありますが、一年のはじまりを朝に例え、「元日」と「元旦」は同義語として使われるという説もあります。
いずれも正式な文献や、根拠はないため、明確な答えはないといえます。
ちなみにgoo辞書の「元旦」には「元日の朝。元朝。また、元日。」とあります。
尚、1月1日は「国民の祝日」ですが、「国民の祝日」での正式な呼称は「元日」です。
■ Wikipedia 元日
■ goo辞書 元日
■ goo辞書 元旦
「元日」「元旦」ともに1年のはじまりを表す言葉
「元旦」が「元日」の朝だけ、とする明確な根拠はない
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「元旦」と「元日」の違いは?